Les polynômes du premier degré

[musique]

[description visuelle]
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[titre]
Les polynômes du premier degré

[description visuelle]
Phrase qui apparaît comme un titre : L’algèbre modélise des situations quantitatives. D’un côté, il y a une expression algébrique, soit 4a + b – 9, et de l’autre, une expression numérique, soit 5 – 2 + 8.

[narratrice]
L’algèbre modélise des situations quantitatives avec des expressions algébriques ou numériques.

[description visuelle]
Expression algébrique 4a + b – 9.

[narratrice]
Chaque élément d’une expression algébrique qui est séparé par un symbole d’addition ou de soustraction est appelé un terme.

[description visuelle]
Le mot terme apparaît sous chacun des termes de l’expression algébrique, puis le type de terme est précisé sous les termes comprenant une variable : terme algébrique.

[narratrice]
Les termes avec une variable sont appelés termes algébriques et ont un coefficient, c’est-à-dire un nombre qui multiplie la variable.

[description visuelle]
Le mot coefficient apparaît au-dessus du terme algébrique 4a, vis-àa-vis du nombre 4, puis le coefficient 1 est ajouté au terme b constitué d’une seule variable.

[narratrice]
Si un terme n’a qu’une variable, le coefficient est égal à 1.

[description visuelle]

L’expression « terme constant » est ajoutée sous le terme 9.

[narratrice]
Le terme sans variable est appelé terme constant.

[description visuelle]
Chacun des trois termes de l’expression algébrique est numéroté.

[narratrice]
On distingue donc les types d’expressions algébriques par le nombre de termes qu’elles contiennent.

[description visuelle]
Le mot Monôme apparaît et signifie un seul terme, par exemple 3b. Suit le mot Binôme qui correspond à deux termes, par exemple 3b – 5, puis le mot Trinôme qui comprend trois termes, par exemple 3b – 5 + 4b.

[narratrice]
Un monôme contient un seul terme, un binôme en a deux, un trinôme, trois.

[description visuelle]
Le mot Polynôme englobe les binômes et les trinômes.

[narratrice]
On utilise aussi le mot polynôme pour désigner toutes les expressions algébriques à plus d’un terme.

[description visuelle]
Polynôme 3b – 5 + 4b simplifié ainsi : 3b + 4b – 5, donc 7b – 5.

[narratrice]
Remarque bien qu’il soit possible de simplifier un polynôme en regroupant les termes semblables. Pour ce faire, on peut additionner ou soustraire les coefficients ou les termes constants.

[description visuelle]
Un garçon et une fille ayant chacun une série de cartes.

[narratrice]
Voyons ce problème. Sékou et Julia collectionnent des cartes. Ici, on peut utiliser des expressions algébriques pour représenter le nombre de cartes de Sékou et de Julia.

[description visuelle]
La variable t apparaît sous Sékou, puis l’expression 3 x t – 10 apparaît sous Julia.

[narratrice]
Si t est le nombre de cartes de Sékou, il manque 10 cartes pour que Julia ait trois fois plus de cartes que Sékou. Julia a alors 3 x t – 10.

[description visuelle]
Polynôme du premier degré 3t – 10 sous lequel apparaît une table de valeurs : Nombre de cartes de Sékou (t) et Nombre de cartes de Julia (3t – 10).

[narratrice]
Ici, le nombre de cartes de Julia, 3t – 10, est un polynôme du premier degré représentant une suite linéaire qui peut être illustrée par une table de valeurs.

[description visuelle]
Table de valeurs qui se remplit au fur et à mesure. Nombre de cartes de Sékou (t) : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Nombre de cartes de Julia (3t – 10) : 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38.

[narratrice]
Si t égale 10, 3 x 10 – 10 = 20. Si t = 11, 3 x 11 – 10 = 23, et ainsi de suite.

[description visuelle]
Bond de + 1 d’une valeur à l’autre concernant le nombre de cartes de Sékou, puis bond de + 3 d’une valeur à l’autre concernant le nombre de cartes de Julia.

[narratrice]
On constate que, lorsque t augmente de un, 3t – 10 augmente de 3.

[description visuelle]
Les bonds sont constants.

[narratrice]
Le polynôme est alors d’un taux constant, ce qui est un critère du polynôme du premier degré.

[description visuelle]
Expression t + 3 x t – 10 qui apparaît sous Sékou et Julia et leur série de cartes.

[narratrice]
Ensemble, Sékou et Julia ont t + 3 x t – 10.

[description visuelle]
Expression t + 3 x t – 10 qui devient t + 3t – 10.

[narratrice]
Note bien que 3 x t peut être écrit 3t.

[description visuelle]
Polynôme t + 3t – 10 simplifié ainsi : 1t + 3t – 10, donc 4t – 10.

[narratrice]
Ce polynôme peut être simplifié en regroupant les termes semblables. Pour ce faire, on peut additionner les coefficients.

[description visuelle]
Deux élèves : Fatima et Daniel.

[narratrice]
Voyons un autre problème. Fatima et Daniel collectionnent des pièces de monnaie.

[description visuelle]
Six pièces de monnaie apparaissent au-dessus de Fatima et quatorze au-dessus de Daniel.

[narratrice]
Daniel a 8 pièces de plus que Fatima.

[description visuelle]
p apparaît sous Fatima, puis p + 8 sous Daniel.

[narratrice]
Si Fatima a p pièces de monnaies, alors Daniel en a p + 8.

[description visuelle]
Polynôme p + p + 8.

[narratrice]
Ensemble, ils ont p + p + 8 pièces de monnaie.

[description visuelle]
Polynôme p + p + 8 simplifié ainsi : 1p + 1p + 8, donc 2p + 8.

[narratrice]
Comme les variables sont semblables et représentent le nombre de pièces de monnaie, on peut les additionner. On se souvient que le coefficient d’une variable seul est 1, alors on obtient 2p + 8.

[description visuelle]
Deux séries de cartes de Sékou et de Julia d’un côté, puis les pièces de monnaie de Fatima et de Daniel de l’autre. Donc, 4t – 10 + 2p + 8.

[narratrice]
Et si on regroupe les cartes et les pièces de monnaie? Ainsi, on obtient 4t – 10 + 2p + 8.

[description visuelle]
Cartes et pièces de monnaie regroupées dans un ensemble.

[narratrice]
En regroupant les items dans une seule collection, les termes semblables peuvent maintenant être additionnés.

[description visuelle]
Polynôme qui devient 4t + 2p – 10 + 8.

[narratrice]
Comme t et p sont deux variables différentes, on ne peut pas additionner leur coefficient. Toutefois, on peut additionner les termes constants.

[description visuelle]
Polynôme 4t + 2p – 10 + 8 qui donne l’expression algébrique 4t + 2p – 2.

[narratrice]
On représente donc l’ensemble des collections par l’expression algébrique 4t + 2p – 2.

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Les quatre enfants avec leurs cartes et leurs pièces de monnaie que représente l’expression algébrique t + 3t – 10 + p + p + 8.

[narratrice]
Récapitulons. Les expressions algébriques représentent des situations quantitatives.

[description visuelle]
Le mot terme apparaît sous l’expression algébrique.

[narratrice]
Dans l’expression algébrique, les éléments qui sont séparés par un symbole d’addition ou de soustraction sont appelés terme.

[description visuelle]
L’expression terme algébrique apparaît sous l’expression algébrique, puis les termes algébriques disparaissent pour mettre en évidence les termes constants.

[narratrice]
Un terme algébrique est composé d’une variable et de son coefficient, tandis qu’un terme constant ne contient que des nombres.

[description visuelle]
t + 3t – 10 + p + p + 8 qui devient 4t – 10 + 2p + 8

[narratrice]
On peut additionner des termes algébriques si les variables sont semblables.

[description visuelle]
4t – 10 + 2p + 8 qui devient 4t + 2p – 2.

[narratrice]
On peut aussi additionner des termes constants.

[description visuelle]
Polynôme 4t + 2p – 2 composé des monômes 4t, 2p et – 2.

[narratrice]
L’expression algébrique ayant plus d’un terme est appelée polynôme, qui est la somme de plusieurs monômes.

[musique]